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资金时间价值与本质描述

编辑时间:2019年12月06日 作者:九指神丐 浏览量:0

资金时间价值与本质描述

 

1、定义:是指一定量资金在不同时点上的价值量差额。

2、本质描述:它相当于没有风险和通货膨胀情况下的社会平均资金利润率,即纯利率理论。它来源于资金进入社会再生产过程后的价值增值,是利润平均化规律发生作用的结果。由于时间价值存在,不同时点的资金量不等,不能直接进行“加减乘除”运算与比较,须折合相同时点才予以进行“加减乘除”运算与比较。时间价值不同于利率,但又以利率表示或计算,若通货膨胀很低,可用国债利率表示时间价值。

所谓资金时间价值,直接理解是,钱,在随着我们过着日子,它也在不断地增值,比如,我们今天把10000元钱存进银行,经过了365天,也就是当我们吃了1095顿饭以后,这一万块钱,会变成1万零几十块,这几十块是啥东西?银行给的利息呗。这意思就是说,你今天的1万块钱,经过了365天,它最少会增值几十块钱,而这几十块钱,就是这一万块钱经过365天的价值。然后,我们就可以说成是:今天的一万块=一年后的一万零几十块这两个数字,是相等的。切记:今天的一万块与一年后的一万块,已经不是相等的数字了。我们把钱存进银行,基本上会得到确定的利息,我们购买成国债,那个利息基本上是不会损失的,这就是我们常说的“无风险收益”。

有了如此的理解,就引申出了复利现值、复利终值、单利现值、单利终值、年金等一系列概念出来。从资金的借贷关系看,利率是一定时期内运用资金资源的交易价格。在没有通货膨胀的情况下,通常用国债利率来表示无风险收益率。

二、终值现现值的计算

(一)相关概念

终值:“将来值”或“本利和”指现在一定量资金在未来某一时点的价值量,以F表示。

现值:指未来某一时点资金折合到现在,当前的价值量,以P表示。

i指利率,I指利息,n指计息期数

注:1、题目未指明计息方式,按复利计算。

2、i、n口径一致,要么都指一年,要么都指半年。

3、题目若未指明年计息次数,均按年计息(复利)一次。

(二)单利终值与现值计算

wps1.jpg 

我们把资金的价值从P计算到F点,就叫顺向求终,从F点计算到P点,叫折现。

单利:每一计算期均用本金计算利息的方式。

1、单利终值计算:F=P×(1+i×n)

其中:(1+i×n),叫单利终值系数,单利终值F等于现值P乘以单利终值系数。

2、单利现值计算:P=F×1/(1+i×n)

其中:1/(1+i×n),叫单利现值系数。

结论:单利现值与单利终值互为逆运算。单利现值系数与单终值系数互为倒数。

(三)复利终值与现值计算

复利:上期本息下期再生息的计算方式,又称利滚利。现值还是用P表示,终值还是用F表示。

1、复利终值计算:F=P×(1+i)^n,记作:F=P×(F/P,i,n)

其中:①(F/P,i,n),叫复利终值系数,其中i是折现率,n是计算期数。

②(1+i)^n 以及(F/P,i,n)叫复利终值系数,复利终值等于它的现值乘以复利终值系数。

例:某项目现在投入200万元,若投资报酬率10%,则5年后项目资金总额为( )万元。

我们先画时间轴来分析:

wps2.png

 

通过时间轴的分析,我们可以看到,已知条件是P为200万,计算期n是5,利率是10%,我们要求的是时间轴上第5点上的终值F。

解:F=P×(F/P,i,n)=200×(F/P,10%,5)=322.1万元。

注意:在本例题中的(F/P,10%,5)念做“期数为5期,折现率为10%的复利终值系数”。查“复利终值系数表”,(F/P,10%,5)=1.6105

2、复利现值计算

P=F/(1+i)^n 次方或 P=F×(P/F,i,n)。其中:F/(1+i)^n和(P/F,i,n)称为复利现值系数。

特别注意:P=F/(1+i)^n次方这个公式,通常用在会计实务中计算某资产的现值。例如:延期付款购入固定资产,总价20万,5年后支付,实际利率为4%。则该固定资产的入账价值(现值)为20/(1+4%)^5次方。

例:某人5年后需用资金20万元,若i=8%,则现在需向银行存入( )万元。

我们先通过画时间轴来分析:

wps3.jpg 

通过画出时间轴,我们可以很清晰的看到:要想在第五年后,即时间轴上第5点的位置得到20万元,我们要在0点的位置存入多少钱,这就是要通过已知条件F和利率8%,以及计算期5期来求现值P。

解:P=20×(P/F,8%,5)=20×0.6806=13.612万元。

其中:0.6806是通过查“复利现值系数表得到的。在考试当中,现值系数表是会给出来的。

 

结论:①复利终值与复利现值互为逆运算

②复利终值系数与复利现值系数互为倒数。

 

3、多个不等款项求终值与现值

例:某顶目建设期2年,各年初投资额分别为30万、40万,项目建成后预计使用3年,各年末收益分别为35万元、45万元、55万元,若折现率10%。要求:计算项目建成后的总投资;计算项目投产日的总收益。

先画时间轴分析:

wps4.jpg 

从时间轴上我们可以看到,题目要求我们求的就是投资的30万、40万这两笔钱,在投产日的终值,以及以后三年每年收益在投产日的现值。

解:①求终值:F=30×(F/P,10%,2)+40×(F/P,10%,1)=80.3万元。

②求现值:P=35×(P/F,10%,1)+45×(P/F,10%,2)+55 ×(P/F,10%,3)=110.33万元

这就是逐项求终值和逐个求现值的计算。

 

4、利率(折现率)推算

只涉及1个系数,计算该系数,查表,用内插法计算。

涉及多个系数,用逐次测试法,结合内插法计算。

 

例:某项目现投入300万元,5年后资金总额有450万元,则项目报酬率为多少?

分析:其实,这题目,告诉我们的已知条件就是P=300,F=450,n=5,让我们求i。也就是利率(折现率)。

 

内插法(插值法):不光财管上在用,会计实务上,常用于持有至到期投资、融资租赁固定资产、可转换公司债券的发行等计算实际利率。

解:第一步:列出算式:根据公式P=F×(P/F,i,n)列出300=450×(P/F,i,5),可以解得:(P/F,i,5)=0.67

第二步:查系数表,目的是确定期数为5期,数值在0.67相邻的两个利率。我们查复利现值系数表查到以下两个利率:期数为5期,数值是0.6806,其利率为8%。期数为5期,数值是0.6499,其利率为9%。

第三步:将利率和系数做如下排列:

wps5.jpg 

请大家观察,第一行和第三行,叫外项,中间一行叫内项。我们的计算口决是“内减相比等于外减相比”,到底怎么个减怎么个比法,请看下面的计算。

wps6.jpg 

解得:i=××% (大家自己去算吧,一元一次方程)

 

逐次测试法例题:

例:某人现存入银行5万元,期望20年后本利和为25万元,则银行年利率应为多少才满足该人需求?

画时间轴进行分析:

wps7.png

从时间轴上,我们可以看到,已知条件是P=5,F=25,期数n=20,还是要我们求i

解:

第一步:列出算式:根据公式F=P×(F/P,i,n)可列出:25=5×(F/P,i,20),所以得出(F/P,i,20)=5

第二步:查复利终值系数表,查什么呢?我们要查期数为20期,数值在5左右的利率。我们查到相邻有一个期数20期,数字为4.661的,其利率是8%。然后我们开始计算5×(F/P,8%,20)=5×4.661=23.305。看,23.305比25小,不是我们所需要的利率。那我们再接着查表,数字小,则利率提高,我们接着查9%,期数5期的数值,查到期数5期,利率9%的数值是5.6044。然后我们再计算:5×(F/P,9%,20)=5×5.6044=28.022。这个数又比25大了。如此,我们可以确定,实际利率i就是8%到9%之间。

第三步:接下来,就用内插法计算了。根据利率和系数列出排列,然后列算式计算。

wps8.png

列算式的时候,还是那个口决:内减相比等于外减相比。

 

(四)、年金终值与现值计算

1、年金:

定义:相等间隔期,等额系列的现金流,以“A”表示。

分类:按每次收付发生时点不同,分为普(通)、即(付)、递(延)、永(续)年金四类。

2、普通年金终值与现值计算

普通年金——简称“年金”

1)普通年金终值计算

公式:F=A×(F/A,i,n)------其中:(F/A,i,n)读作年金终值系数。

例:企业设立一项基金,每年末投入20万元,i=8%,则5年后该基金本利和为(   )。

画时间轴:

wps9.jpg 

分析:本题已知A=20万,n=5,i=8%。求F

解:根据公式:F=A×(F/A,i,n)可得出:F=20×(F/A,8%,5)。查“年金终值系数表”得到(F/A,i,n)=5.8666。(年金系数表的查法与复利现值系数表一样)。故本题F=20×5.8666=117.332万元。

2)偿债基金计算

偿债基金:指在未来某一时点达到一定数额资金,从现在起每期末等额提取的准备金。

注意:偿债基金系数没有表,做题时用年金终值系数的倒数来计算,考试时会给出年金终值系数表。

公式:A=F×(A/F,i,n)。式中:(A/F,i,n)称作偿债基金系数

结论:①普通年金终值与偿债基金互为逆运算。

②年金终值系数与偿债基金系数互为倒数。

例:某人4年后需偿还60000元债务,从现在起每年末等额存入银行一笔款项,i=10%,则每年需存入(  )。

本题已知条件:F=60000元,i=10%,n=4,我们求A。

解:方法一:根据公式F=A×(F/A,i,n)可以得出:60000=A×(F/A,10%,4)。移项得到:A=60000/(F/A,10%,4)。查年金终值系数表得4.641,故本题A=60000/4.641=12928.25元。

方法二:根据偿债基金公式A=F×(A/F,i,n)可以得出:A=60000×(A/F,10%,4)。

但是现在有一个问题:根本没有偿债基金系数表,我们无法查到,怎么办?请看上面写的结论②年金终值系数与偿债基金系数互为倒数。我们现在就以这个结论来计算。即然他们互为倒数,则一定是:(A/F,i,n)=1/(F/A,i,n)。如此,我们用倒数替换一下上面的式子可以得到:A=60000×1/(F/A,10%,4)。

3)普通年金现值计算——还是那句话:递延年金、即付年金等,最终都将转换成普通年金计算,因此,掌握了普通年金的计算,就等于把后面的都学会了。

公式:P=A×(P/A,i,n)。其中:(P/A,i,n)叫年金现值系数。

其时间轴的表现形式为:

 

wps10.jpg 

已知条件:A,i,n。我们要求P,即现值。注意:普通年金均指年末的现金流量。如果是年初的现金流量,我们称作:即付年金顾名思义即付就是立即支付。

例:公司有一付款业务,有下列方式可供选择:甲:现在一次支付100万元。乙:在第5年初一次支付140万元;丙:分期付款,每年末支付30万元,连续支付5年。若i=10%,要求:利用现值选择付款方式。

分析:本题是给出了甲乙丙三种付款方案,让我们选择一种最佳的付款方案,也就是体现了“抠门原则”,要我们找出最省钱,成本最低的一种方案,如何找呢?这题目的思路就是:计算三种方案的现值,然后比较,现值最小的那个就是最低付款方案。

解题:画时间轴,依次计算各方案的现值:

wps11.jpg 

现在我们可以看到:甲方案在第一年初一次支付100万,这不用再计算,其现值就是100万。

wps12.jpg 

大家再看乙方案:这是在第5年初一次支付140万,这不就是一个计算复利现值吗?但注意:在第5年初,我们折现到0点,大家数一数,只有四个格子,实际这次计算的期数是4期,明白吗?这就是画时间轴的好处,我们直接数格子就行了,如果不画时间轴,恐怕会有很多人会按5期来折现了。我们来计算乙方案的现值:

根据公式:P=F×(P/F,10%,4)。查系数表得到:P=140×0.683=95.62万元。

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现在大家再看丙方案的时间轴,其中A=30,n=5,i=10%。求P。(请大家多多观察普通年金的时间轴表现形式,一定是年末!!数格子有5格)。

根据公式:P=A×(P/A,10%,5)得到P=30×3.7908。解得P=113.72万元。

好了,现在我们全部计算出来了,甲方案现值100万,乙方案现值95.62万,丙方案现值113.72万元,我们通过比较,可以知道乙方案是最佳方案,甲方案次之,丙方案最差。

结论:乙方案付款额的现值最低,应该选择乙方案付款。

4)年资本回收额计算

年资本回收额:指初始一笔款项,在一定期限内每期末等额回收的金额。

公式:A=P×(A/P,i,n).其中:(A/P,i,n)叫作资本回收系数,这个系数没有表可以查。

结论:①普通年金现值与年资本回收额互为逆运算。

②年金现值系数与资本回收系数互为倒数。(我们就利用这一点来计算回收额)

例:某人以8%利率借款20万元,投资于期限为6年的项目,则每年至少收回(  )万元,项目才有利?

画时间轴:

wps14.jpg 

现在我们可以看到,其现值P是20万,有6格。即n=6,年利率为已知条件i=8%。我们要求A

解:方法一:根据公式:A=P×(A/P,i,n)可以得到A=20×(A/P,8%,6)由于他们互为倒数,因此可以写为:A=20×1/(P/A,8%,6)。查普通年金现值系数表可得到(P/A,8%,6)=4.6229.因此,解得A=4.326万。

方法二:根据公式:P=A×(P/A,i,n)可以得到:20=A×(P/A,8%,6)。移项得A=20/(P/A,8%,6)。解得结果一样。

3、即付年金终值与现值计算

即付年金:指从第一期起,每期期初发生的等额系列现金流。

1)即付年金终值计算:F=A×(F/A,i,n)×(1+i)

wps15.jpg 

请大家仔细观察时间轴,即付年金,是每年年初支付的。所以0点上也有一个年金A。但是,如果我们把时间轴往0点的左边横移一格,原来的0点变成了1点)而右边则少掉一格。时间轴变成了如下形式:

wps16.jpg 

是不是变成了普通年金终值的计算?大家往回看看普通年金终值的计算公式,其公式是:F=A×(F/A,i,n)

但是,这里有一个问题,请看上图,我们如此计算的终值,是计算到8点的终值,而我们原来的时间轴,是要计算到9点,我们似乎少算了一格。因此,我们就在公式后面加上一个“×(1+i)”。也就是再往后面复利计算一期。故即付年金公式就是:F=A×(F/A,i,n)×(1+i)

2)即付年金现值计算

公式:P=A×(P/A,i,n)×(1+i)

我们再来理解一下这个公式:

请看时间轴:

wps17.jpg 

现在我们要求的是0点的现值。我们有两种方法:

方法一:0点上的A是不是已经就是一个现值了?这个不用再计算,然后我们看剩下的,也就是忽略0点上的A以后,整个时间轴,是不是又变成了普通年金现值的计算?但是注意:忽略了0点上的A,我们就要少计算一期了,明白吗?假如题目说:每年年初支付,连续支付10年,我们把第一个年初支付的忽略,是不是变成了每年末支付,连续9年的普通年金?仔细体会一下。因此,我们的公式就是这样:P=A+A×(P/A,i,n-1)。

方法二:我们还是像终值计算那样,把时间轴往左横移一格,左边多出一格,右边减少一格。现在是不是变成了普通年金?但是,右边少了一格,也就是说,我们就少算了一期。因此,在这个基础上,我们就再来复利计算一期就可以了。

故公式如下:P=A×(P/A,i,n)×(1+i)

 

4、递延年金终值与现值计算

1)递延年金终值的计算:与普通年金终值计算相同,并且与递延期长短无关。

2)递延年金现值的计算:

我们看时间轴:

wps18.jpg 

请仔细观察,这个图是递延3年后,每年年初支付的即付年金。也可以说成是递延2年后,每年年末支付的普通年金。

我们的计算思路是:首先,将其按普通年金计算方法折现到2点。然后,再从2点直接复利折现到0点。两次跳跃就完成了。简单吧?

因此,公式表达如下:P=A×(P/A,i,n)×(P/F,i,m)(其中,n是普通年金计算期数,m是复利折现的期数)

继续看上面这个图形,我们假设1点和2点都有年金A,那这个是不是就完全是个普通年金的形式了吗?我们现在就按这个假设来计算0点的年金现值:P=A×(P/A,i,8)。现在算到了0点的现值,我们再减去假设的两个年金,不就还原成了递延年金的结果了吗?因此,在这个公式的基础上,减去2期的普通年金:P=A×(P/A,i,n)—A×(P/A,i,2)。这样做,完全正确!!

接下来:

我们把2点假设成0点,然后从2点开始计算终值到8点。这不就变成了年金终值的计算?期数变成了6期。

其公式如下:F=A×(F/A,i,6)。这下,咱们再把8点的终值给复利折现回0点,这不就把它的现值给算出来了吗?

P=A×(F/A,i,6)×(P/F,i,8)。

 

问题:公司有下列付款方案:甲:从现在起,每年初付30万,连续支付5年。乙:从第5年开始,每年初支付25万,连续支付8年。若i=8%,利用现值选择付款方案?

 

5、永续年金终值与现值计算

1)永续年金无终值计算

2)现值:P=A/i。

 

三、名义利率与实际利率

当年复利(计息)多次时,题目中给出的利率是名义利率。

则年实际利率i=(1+r/m)^m-1

r:名义利率;m:年复利次数;括号后面的m是指m次方

若年复利一次,则i=r;若年复利多次,则i>r。对债权人而言,年复利次数越多越有利,对债务人而言,年复利次数越少越有利。

例:某人现存入银行20000元,若利率8%,半年复利一次,则5年后本利和为多少?

方法一:先求i再进行计算:

i=(1+r/m)^m-1=(1+8%/2)^2-1=8.16%。

然后求终值:F=P×(1+i)^n(n是指n次方)。=20000×(1+8.16%)^5=29604.89元

方法二:调整计息期利率与期数:

F=P×(F/P,r/m,m×n)=20000×(F/P,8%/2,2×5)

 

总结:

1、4对逆运算,4对系数互为倒数。

2、永续年金只有现值而无终值计算。

3、递延年金、永续年金均属普通年金的特殊形式。递延年金终值=普通年金终值(计算相同)

4、复利终值系数(F/P,i,n)

复利现值系数(P/F,i,n)

 

普通年金终值系数(F/A,i,n)

偿债基金系数(A/F,i,n)

 

普通年金现值系数(P/A,i,n)

资本回收系数(A/P,i,n)

 

即付年金终值系数(F/A,i,n)×(1+i)

即付年金现值系数(P/A,i,n)×(1+i)

5、单利终值=现值×单利终值系数:F=P×(1+i×n)

单利现值=终值×单利现值系数:P=F×1/(1+i×n)

 

复利终值=现值×复利终值系数:F=P×(F/P,i,n)或F=P×(1+i)n

复利现值=终值×复利现值系数:P=F×(P/F,i,n)或P=F/(1+i)n

 

普通年金终值(简称年金终值)=普通年金×普通年金终值系数:F=A×(F/A,i,n)

偿债基金=终值×偿债基金系数:A=F×(A/F,i,n)

 

普通年金现值=年金×年金现值系数:P=A×(P/A,i,n)

资本回收额=现值×回收系数:A=P×(A/P,i,n)

 

即付年金终值=即付年金×即付年金终值系数:F=A×(F/A,i,n)×(1+i)

即付年金现值=即付年金×即付年金现值系数:P=A×(P/A,i,n)×(1+i)或P=A+A×(P/A,i,n-1)